奧數(shù)練習題及參考答案關于差的變換

　　難度：

　　對任意兩個不同的自然數(shù)，將其中較大的數(shù)換成這兩數(shù)之差，稱為一次變換。如對18和42可下面進行這樣的'連續(xù)變換：

　　18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。

　　【答案】

　　如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是a，那么這兩個數(shù)之差與這兩個數(shù)中的任何一個數(shù)的最大公約數(shù)也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數(shù)的最大公約數(shù)始終不變，所以最后得到的兩個相同的數(shù)就是它們的最大公約數(shù)。因為12345和54321的最大約數(shù)是3，所以最后得到的兩個相同的數(shù)是3。說明這個變換的過程實際上就是求兩數(shù)最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。